Infinite-Monkey Rap

Im Jahr 2013 habe ich einen Beitrag zum Infinite-Monkey-Theorem verfasst. Kurz zusammengefasst geht es darum, dass ein Affe in unendlicher Zeit einen beliebigen Text verfassen könnte, indem er zufällig auf den Tasten einer Schreibmaschine herumtippt. Das Infinite-Monkey-Theorem wird im Musikvideo zum Song „Walk on Water“ des US-amerikanischen Rappers Eminem dargestellt. Eminem selbst findet sich in der Rolle des tippenden Affen wieder und verfasst schlussendlich seinen weltberühmten Song „Stan“. Das Ganze passt perfekt zur Thematik von „Walk on Water“: Eminem spricht die extrem hohen Erwartungen an, die heutzutage an seine Texte gestellt werden. Er fühlt sich wie der tippende Affe, da er seinem anspruchsvollen Publikum nur noch gerecht werden kann, wenn er monatelang an seinen Texten arbeitet. Dass es dem tippenden Eminem aber gelingt, den Song „Stan“ zu verfassen (die Wahrscheinlichkeit dafür ist vernachlässigbar klein, siehe meinen Beitrag von 2013), gibt Eminems Stolz/Arroganz Ausdruck, doch etwas Aussergewöhnliches zu sein. Die Thematik des Infinite-Monkey-Theorems wurde meiner Meinung nach sehr raffiniert umgesetzt. Das Video ist hier verlinkt:

 

Condensed Matter Report

Im Rahmen des Kurses „Condensed Matter Physics“ an der University of Toronto habe ich einen Report zum Thema „Higgs Modes in Superconductors“ verfasst. Es ging darum, sich mithilfe von wissenschaftlichen Papers in ein Thema einzulesen, über das man vor dieser Arbeit noch nichts wusste. Das Thema ist sehr komplex und geht über den Stoff hinaus, den man gewöhnlich im Bachelor Physik durchnimmt. Entsprechend habe ich lange gebraucht, um einigermassen den Überblick über all die verschiedenen Fachbegriffe zu bekommen. Ich habe versucht alles so klar wie möglich darzustellen, der Report dürfte aber für Nicht-Physikstudierende schwierig zu verstehen sein.

Higgs Modes in Superconductors

 

 

Elektronenmikroskopie

Elektronenmikroskopie

Im Kurs „Advanced Physics Laboratory“ an der University of Toronto hatte ich die Möglichkeit mit einem Elektronenmikroskop zu arbeiten. Die grundlegende Idee hinter der Elektronenmikroskopie stammt aus der Quantenmechanik: Teilchen (wie etwa Elektronen) können sich wie Wellen verhalten. Eine wichtige Eigenschaft von Wellen ist die Wellenlänge (Distanz, welche die Welle von einem Wellenberg zum nächsten zurücklegt). Der Physiker de Broglie fand 1924 den Zusammenhang zwischen der Wellenlänge λ und dem Impuls p (Masse mal Geschwindigkeit) von Teilchen:

Dabei ist h eine Naturkonstante (Planck’sches Wirkungsquantum):

Der Wert von h liefert auch gleich die Erklärung, warum man für lange Zeit die Welleneigenschaft von Teilchen nicht bemerkt hat: da h im Vergleich zu Alltagsgrössen sehr klein ist, ist auch die resultierende Wellenlänge λ der Materiewelle meist sehr klein. Da der Wellencharakter erst dann zum Vorschein kommt, wenn die Welle auf eine Struktur in der Grössenordnung der eigenen Wellenlänge trifft, kann man die Welleneigenschaft von Teilchen in alltäglichen Dimensionen nicht beobachten. Elektronenwellen eignen sich aber hervorragend, um das Atomgitter in Metallen wie Silber, Aluminium oder Gold zu untersuchen (da die Abstände zwischen den Atomen in diesen Metallen in der Grössenordnung der Wellenlänge λ der Elektronenwellen sind). Aus diesem Grund wird die Elektronenmikroskopie in der Festkörperphysik oft verwendet.

Die Schwierigkeiten der Elektronenmikroskopie sind einerseits, dass die Luft im Innern des Mikroskops herausgepumpt werden muss (man braucht ein sehr gutes Vakuum, da sonst die Elektronen von den Luftteilchen gebremst oder gestreut werden) und andererseits, dass die Elektronen mit Hochspannung beschleunigt werden müssen, damit λ tatsächlich in der gewünschten Grössenordnung liegt (indem man den Impuls p der Elektronen erhöht, verkleinert man deren Wellenlänge λ). Beim Elektronenmikroskop an der University of Toronto wurde das Vakuum mit einer Kombination aus mechanischen Pumpen und sogenannten Diffusionspumpen erreicht (der Startprozess des Elektronenmikroskops dauerte ungefähr eine Stunde).

Die Herausforderung bei diesem Experiment für mich speziell war, dass mir niemand von den Betreuern des „Advanced Physics Laboratories“ über die genaue Funktionsweise des Elektronenmikroskops Auskunft geben konnte, da einer der technischen Mitarbeiter im vergangenen Sommer tragischerweise verstorben ist und dadurch sehr viel des Wissens über dieses Mikroskop verloren ging. Deshalb verbrachte ich ungefähr die Hälfte meiner Laborzeit mit dem Ausprobieren der verschiedenen Bauteile und Knöpfe, was mir aber ziemlich viel Spass bereitete. Ich beging dabei wohl ziemlich dumme Anfängerfehler (so verbrannte ich beispielsweise den Draht der Elektronenkanone, da ich den Strom zu hoch aufdrehte), diese waren aber zum Glück alle reparierbar und ich kam umhin sie zu wiederholen.

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Der „Fingerabdruck“ von Atomgittern

Im einfachsten Fall ordnen sich Atome in einem Material in einem kubischen Gitter an. Dabei gibt es die Gitter simple cubic (sc), body-centered cubic (bcc) und face-centered cubic (fcc):

crystal-structures

Die Atomgitter der Materialien Silber, Aluminium und Gold sind alle face-centered cubic. Die Art des Gitters kann mittels der Elektronenmikroskopie bestimmt werden: Je nachdem um welche Gitterart es sich bei einem Material handelt, werden die einkommenden Elektronenwellen unter anderen Winkeln gestreut. Die grundlegende Idee ist einfach: Damit sich die von den unterschiedlichen Schichten des Atomgitters gestreuten Elektronenwellen nicht gegenseitig auslöschen, müssen immer ein Wellenberg auf einen Wellenberg und ein Wellental auf ein Wellental zu liegen kommen (man nennt das positive Interferenz). Also muss der Unterschied im zurückgelegten Weg zwischen der Welle, die von einer Gitterschicht gestreut wurde zur Welle, die von der nächsten Gitterschicht gestreut wurde, gerade ein Vielfaches der Wellenlänge λ betragen:

wobei n eine positive ganze Zahl (0, 1, 2, …) ist.

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Mit obiger Skizze kann man sehen, dass die Formel

gilt, wobei d der Abstand zwischen den Schichten im Atomgitter und θ der Einfallswinkel der Elektronenwellen ist. Das Kombinieren dieser beiden Formeln führt zu

der berühmten Formel der Bragg Streuung. Wie man sich anhand obiger Skizzen überlegen kann, weisen die unterschiedlichen Atomgitter (sc, bcc und fcc) unterschiedliche Abstände d zwischen den verschiedenen Atomschichten auf, deshalb erwartet man auch andere Winkel θ bei der Streuung der Elektronenwellen an den verschiedenen Atomgittern (da d je nach Gitter unterschiedlich ist, λ jedoch für alle Gittertypen gleich bleibt, da eine Eigenschaft der Elektronenwellen). Mittels der Theorie der Fouriertransformation kann man die zu erwartenden Streuwinkel noch präziser und eleganter herleiten, die Grundidee bleibt aber die gleiche.

Resultate

Die unten stehenden Bilder zeigen die aufgenommenen Streubilder (für Aluminium und Silber). Je grösser der Streuwinkel θ, desto grösser ist der Radius der entsprechenden Streulinie (jeder Kreis entspricht also einem Abstand d zwischen Schichten im Atomgitter via der Bragg Streuformel). Die weissen Linien zeigen das von mir berechnete theoretische Streumuster für ein fcc Gitter. Die theoretischen Linien stimmen sehr gut mit den gemessenen überein (gegen aussen werden die Linien schwächer, deshalb kann die 4. und 5. Linie von innen gezählt nur noch als eine Linie wahrgenommen werden). Die Übereinstimmung von Theorie und Experiment zeigt, dass sich die Atome in den Materialien Aluminium und Silber tatsächlich in einem fcc Gitter anordnen.

aluminum1_solution

silver3_solution

 

Quellen

Planck’sches Wirkungsquantum: de.wikipedia.org
Kubische Kristallgitter: bigkingken.files.wordpress.com
Bragg Streuung: upload.wikimedia.org

Schneller als Licht?

Ein Beispiel aus dem Alltag

Am Flughafen Zürich gibt es Laufbänder, die es Reisenden erlauben, schnell das Gate zu wechseln. Wenn man auf einem solchen Laufband geht, so scheinen sich die Geschwindigkeit des Laufbandes und die eigene Gehgeschwindigkeit zu addieren: wir kommen schneller voran.  Drückt man dies in Formeln aus, so erhält man die Beziehung:

Ein Beobachter, der neben dem Laufband steht, wird also die Geschwindigkeit der eilenden Reisenden als Summe der Geh- und der Laufbahngeschwindigkeit sehen.

Ein Beispiel aus dem intergalaktischen Alltag

Was passiert nun, wenn wir die Geschwindigkeiten erhöhen? Man stelle sich als Beispiel eine Person in einem Raumschiff vor, das sich mit einer Geschwindigkeit v (gegenüber einer ruhenden Beobachterin auf einem Planeten) bewegt. Die Person in der Rakete richtet nun den Strahl eines Laserpointers auf einen kleinen Kometen, der sich direkt vor der Rakete befindet (damit das Beispiel etwas weniger konstruiert wirkt: die Absicht der Person ist natürlich mit der Energie des Laserlichtes den Schriftzug „Anarchie“ auf der eisigen Oberfläche des Kometen zu verewigen, ein politisches Statement gegen die strikte Herrschaft des intergalaktischen Senats).

rakete

Wie sieht es aber nun mit der Geschwindigkeit aus, welche die ruhende Beobachterin auf dem Planeten wahrnimmt? Das Laserlicht bewegt sich von der Person in der Rakete aus gesehen mit der Lichtgeschwindigkeit c fort. Und die Person in der Rakete reist wiederum mit der Geschwindigkeit v gegenüber der ruhenden Beobachterin. Würden sich die Geschwindigkeiten v und c einfach addieren, so müsste die Geschwindigkeit des Laserstrahls für die Beobachterin auf dem Planeten grösser sein als die Lichtgeschwindigkeit. Ist das möglich?

Relativitätstheorie

Mit seiner (speziellen) Relativitätstheorie lieferte Albert Einstein die Antwort: die blosse Addition von Geschwindigkeiten ist falsch. Einstein ging davon aus, dass die Lichtgeschwindigkeit für alle Beobachter die gleiche sein muss. Führt man diese Idee konsequent mathematisch aus, so ergibt sich, dass für parallele Geschwindigkeiten die folgende Formel gelten muss:

Im obigen Beispiel mit dem Laserpointer und der Rakete ist

Die Geschwindigkeit des Laserlichtes, welche die Beobachterin auf dem ruhenden Planeten wahrnimmt, beträgt also

Das bedeutet, dass die Lichtgeschwindigkeit für die Person in der Rakete wie für die Beobachterin auf dem Planeten die genau gleiche ist (genau dies war ja auch Einsteins Grundannahme, deshalb sollte sie natürlich von den darauf aufbauenden Formeln auch bestätigt werden). Die Formel erklärt auch, weshalb wir im Alltag die blosse Addition der Geschwindigkeiten wahrnehmen: falls die betreffenden Geschwindigkeiten sehr viel kleiner als die Lichtgeschwindigkeit sind (ich denke das ist sowohl für die Geh- wie auch für die Laufbandgeschwindigkeit am Züricher Flughafen gegeben), so gilt

Unsere Geschwindigkeiten im Alltag sind also im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit so lächerlich klein, dass relativistische Effekte keine Rolle spielen. Ganz nach dem Motto: „Wenn die Relativitätstheorie in Ihrem Leben keine Rolle spielt, dann sind Sie zu langsam.“

Quellen

Vorlesung Physik II, ETH Zürich
Beitragsbild: space.com

 

Und sie drehen sich

Simulation der Umlaufbahnen

Wie genau bewegen sich die Planeten? Wie sehen ihre Umlaufbahnen aus? Wann werden sie sich wo befinden? Die besten Köpfe der Wissenschaft haben sich früher mit diesen Fragen beschäftigt und dabei bahnbrechende Entdeckungen gemacht. Heute kann sich jeder mit einigen Kenntnissen der Programmiersprache Python und der Numerischen Methoden eine eigene Simulation des Sonnensystems programmieren. Ich habe genau dies getan. Dabei ist das folgende Video entstanden:

Die Zeit läuft im Video etwa 400’000’000 mal schneller als in Wirklichkeit. Die Distanzen sind in Astronomischen Einheiten AU (mittlere Distanz der Erde zur Sonne) angegeben. Die terrestrischen Planeten (Merkur bis Mars) habe ich weggelassen, da sie bei massstabsgetreuer Darstellung der Umlaufbahnen nur noch als Durcheinander im Zentrum erkennbar wären.

Vergleich mit offiziellen Modellen

Vergleicht man meine Simulation mit offiziellen Modellen der NASA, so scheinen die Umlaufbahnen ziemlich genau zu stimmen (den Zwergplaneten Eris habe ich weggelassen). Meine Bahnen fallen etwas elliptischer aus, was an den ungleichen Skalierungen der Achsen liegt.

Umlaufbahnen

Simulation

In der Folge gebe ich einen kurzen Überblick, wie die Simulation aufgebaut ist. Im Kern befinden sich zwei Differentialgleichungen, die sogenannten Hamiltonschen Bewegungsgleichungen. Diese sehen folgendermassen aus:

wobei die Hamilton-Funktion (Gesamtenergie des Systems) in diesem Fall definiert ist als:

Mit q wird hier der Ort der Planeten bezeichnet, p steht für den Impuls und m für die Masse. Zweifellos sehen diese Funktion und umso mehr die Differentialgleichungen ziemlich grimmig aus, dafür erhalten sie alle Informationen, die man für die Simulation eines beliebigen Planetensystems braucht. Kann man die Differentialgleichungen lösen und sind die Anfangsbedingungen bekannt (Ort und Geschwindigkeit der Planeten zum jetzigen Zeitpunkt), so kann man die Bewegungen und Aufenthaltsorte der Planeten unter gegenseitigem Einfluss (!) für alle Zeiten bestimmen. In der Praxis approximiert man solche Differentialgleichungen mit einem Computer unter Verwendung von numerischen Verfahren. Ich habe das sogenannte Velocity-Verlet-Verfahren angewendet. Dabei wird die Zeit vom Anfangs- bis zum Endzeitpunkt in ein feines Zeitgitter aufgeteilt. Der Computer berechnet dann nacheinander den Ort und die Geschwindigkeit der Planeten für die Zeiten in diesem Gitter, immer basierend auf den zuletzt berechneten Werten. Diese Annäherung wird beliebig genau für ein beliebig feines Zeitgitter (der Fehler ist proportional zur Länge der Zeitschritte im Gitter – zum Quadrat). Die berechneten Werte habe ich in etwa 200 Diagrammen geplottet und anschliessend in einer Videosoftware zum oben gezeigten Video verarbeitet.

Das Schöne an der Simulation ist, dass sie nur die Anfangswerte der Planeten benötigt, alles andere wird aus den Hamilton-Gleichungen berechnet. Somit könnte man ihr ohne Mühe die Anfangswerte für extraterrestrische Planeten füttern und so auch ein beliebig anderes Planetensystem modellieren.

Quellen

Vorlesung Numerische Methoden, ETH Zürich

Bild Planetenumlaufbahnen: NASA

Beitragsbild: scilogs.de

Auch du, mein Sohn?

Letzte Worte

Die letzten Äusserungen einer Person im Angesicht des Todes sind oft etwas ganz Besonderes. Viele letzte Worte erscheinen genau geplant und durchdacht, einige jedoch sind es wohl eher zufällig geworden. In diesem Beitrag habe ich zehn berühmte Personen und ihre letzten Worte zusammengestellt.

Letzte Worte

„Das Spiel ist zu Ende, Applaus!“, Augustus
Ein berühmter Schlusssatz, den römische Schauspieler zu sagen pflegten.

„Schade, schade, zu spät!“, Ludwig van Beethoven
Der berühmte Komponist liess diese Worte verlauten, weil er die letzte Lieferung Wein nicht mehr geniessen konnte.

„Scheiße auf die ganze Gesellschaft. Scheiße auf alles, was unwichtig ist.“, Joan Miró
Wohl ein Ratschlag des spanischen Malers an seine Nachwelt.

„Mein Herr, ich bitte Sie um Verzeihung, ich tat es nicht mit Absicht.“, Marie Antoinette
Die Frau des französischen Königs Ludwig XVI. sagte diese letzten Worte zu ihrem Henker, dem sie auf den Fuss gestanden war.

„Ich habe nicht die Hälfte von dem erzählt, was ich gesehen habe, weil keiner mir geglaubt hätte.“, Marco Polo
Diesem Satz kann man wohl Glauben schenken.

„Störe meine Kreise nicht!“, Archimedes
Nach römischer Überlieferung soll der berühmte griechische Mathematiker dies einem römischen Soldaten zugeraunt haben, der ihn bei der Eroberung von Syrakus in einem stillen Garten entdeckte und erstach. Archimedes grübelte über geometrischen Figuren, die er in den Sand gezeichnet hatte. 

„Du bist wunderbar.“, Arthur Conan Doyle
Der Autor, der zahlreiche Kriminalromane über die Fälle des Meisterdetektivs Sherlock Holmes geschrieben hatte, sagte diese letzten Worte zu seiner Frau.

„Auch du, mein Sohn?“, Julius Caesar
Diese Worte galten Brutus, der ihn zusammen mit Komplizen im Senat ermordete. Heute wird es manchmal auch als „Auch du, mein Sohn!“ interpretiert, als Drohung, dass Brutus ein ähnliches Schicksal erfahren würde.

„…“, Albert Einstein
Die Krankenschwester, die ihn pflegte, war US-Amerikanerin und verstand seine letzten Worte in Deutsch nicht. 

„Hinaus! Letzte Worte sind für Narren, die noch nicht genug gesagt haben.“, Karl Marx
Den Tod schien der bekannte Theoretiker des Sozialismus und Kommunismus nicht gefürchtet zu haben.

 

Quellen

Beitragsbild: upload.wikimedia.org
Letzte Worte: de.wikiquote.org

Ein Leben lang

Lebenszeit

Laut Statistik liegt die durchschnittliche Lebenserwartung in der Schweiz bei 82.7 Jahren. Der gewöhnliche Schweizer oder die gewöhnliche Schweizerin lebt somit ungefähr 30’000 Tage, 725’000 Stunden oder 2.6 Milliarden Sekunden. In diesem Beitrag habe ich einige Hochrechnungen zur Frage, womit wir unser Leben verbringen, zusammengestellt.

Lebenszeit

Auf das gesamte Leben hochgerechnet schlafen wir ca. 25 Jahre. 3.5 Jahre verbringen wir mit Essen. Dabei landen 45.5 Schweine, 3.2 Rinder, 926 Hühner, 6’921 Liter Milch, 5’192 Brote, 8’028 Äpfel, 3’367 Schokoladentafeln, 11’586 Liter Kaffee und 8’857 Liter Bier in unseren Mägen. Unser Herz pumpt das Blut, welches unsere Zellen über das gesamte Leben mit etwa 85 Millionen Kilokalorien Energie (entspricht 160’000 Schokoladentafeln) versorgt, mit insgesamt bis zu 4 Milliarden Schlägen durch unseren Körper. Was wir davon nicht brauchen, scheiden wir während 6 Monaten auf der Toilette wieder aus. Wir führen ungefähr 500 Millionen Lidschläge durch, was einer Zeit von etwa 6 Jahren entspricht. Mit dem Auto fahren wir etwa 2 Jahre, 6 Monate warten wir im Stau. Insgesamt haben wir in unserem Leben etwa 10 Autos, verbrauchen 45’000 Liter Benzin und reisen damit 819’214 km weit. Zu Fuss bringen wir es auf 25’160 km. 8 Jahre verbringen wir mit Arbeiten und etwa 2 Jahre lernen wir oder bilden uns fort. Dafür küssen wir während 2 Wochen und haben etwa 4’000 mal Sex. Ungefähr 12 Jahre unseres Lebens reden wir und die gleiche Zeit verbringen wir vor dem Fernseher. 12 Monate gehen wir in Konzerte, Theater oder Kinos. Allen anderen Beschäftigungen, die hier nicht aufgezählt wurden, gehen wir während 16 Jahren unseres Lebens nach. 

 

Quellen

Wikipedia: Mensch in Zahlen, Herzfrequenz, Lidschlag
sbv-usp.ch (Nahrungsmittelverbrauch pro Kopf)
kalorientabelle.tv (Kalorien verschiedener Lebensmittel)

Mindblow

Relativity

Dass wir nicht einfach die „Wahrheit“ sehen, sondern unser Hirn beim Sehen immer wieder Sachen hineininterpretiert, ist spannend zu erkennen. Noch lustiger finde ich, dass selbst der Zeichner einer optischen Täuschung auf sie hineinfällt, sich das Hirn also eigentlich selber wissentlich Fallen stellen kann. In diesem Beitrag habe ich 10 der, wie ich finde, interessantesten Täuschungen zusammengestellt.

1. Weitergeleitete Stösse

Bewegende Punkte

Ein unbewegliches Bild, das sich bewegt…

2. Spirale?

0104

Eine Spirale, die endlos in die Tiefe geht. Ist es wirklich eine Spirale?

3. Blau, rot, grün

Eine Spirale aus den Farben blau, grün und rot, oder? Nein, das „Grün“ und das „Blau“ sind in Wirklichkeit die selbe Farbe…

4. Wirbel

Ein Klassiker, aber man fällt trotzdem darauf rein.

5. Drehende Kreise

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Einfach den Punkt in der Mitte anschauen und den Kopf vor und zurück bewegen…

6. Life is strange

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Das Leben kann den Augen wehtun.

7. Kopf-über-Bild

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Nicht wirklich eine optische Täuschung im klassischen Sinn aber, wie ich finde, kreativ gemacht.

8. Erscheinung

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Die blauen Punkte anschauen und langsam auf 30 zählen. Dann die Augen schliessen…

9. Im Schatten

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Welche Fläche ist heller, A oder B? Bei einer Illusion ist die Antwort ja praktisch schon klar, es sind beide gleich hell.

10. Von A nach B nach C

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Die Strecken AB und BC sind genau gleich lang. Ein Lineal kann’s beweisen…

 

Quellen Bilder: youramazingbrain.org.uk und eyetricks.com

Quelle Beitragsbild: meridian.net.au

Eine Tausendstelsekunde

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Eine Tausendstelsekunde ist so kurz, dass wir rechnen müssen, was in dieser Zeit geschieht, um es uns vorstellen zu können. In diesem Beitrag stelle ich nun einige Beispiele vor.

Usain Bolt rannte bei seinem Weltrekord die Strecke von 100 m in 9.58 Sekunden. Damit legte er durchschnittlich 1.04 cm pro Tausendstelsekunde zurück. 30x mehr, nämlich 30 cm schafft ein Passagierflugzeug mit einer Geschwindigkeit von 1000 km/h. Die Saite eines Klaviers, die das mittlere C (Frequenz = 262 Hz) erzeugt, vollführt ungefähr einen Viertel einer Vor- und Rückschwingung. Mit einer Frequenz von 2.7 GHz führt ein MacBook Pro in einer Tausendstelsekunde 2.7 Millionen Rechenschritte durch. Ein Stein im freien Fall beschleunigt etwa um 0.04 km/h. Wir drehen gemeinsam mit der Erde 300 m weiter in der Umlaufbahn um die Sonne. Eine 1000x grössere Strecke legt das Licht in dieser Zeit zurück, etwa die Distanz von Bern nach München. Ein menschliches Haar wird etwa 0.000000005 mm länger. Eine Mücke schlägt einmal mit ihren Flügeln. 0.007 Wörter liest ein geübter Leser in dieser Zeit. 

Dann hat der Sekundenzeiger schon wieder 0.006° zurückgelegt und alles gehört der Vergangenheit an…

Quelle Bild: img.wallpaperstock.net

In Anlehnung an: Glass, Don: „What’s what?“. Deutscher Taschenbuch Verlag, 1996.