Mathematik / Physik

Die unendliche Treppe

treppe-in-den-himmel 2

Identische Bausteine werden aufeinander gestapelt: Ist es möglich, dies so zu tun, dass der Stapel beliebig weit nach vorne reicht, ohne dass er umfällt (siehe Bild)?

Schwerpunkte2b

Das Bauchgefühl scheint diese Frage sofort zu verneinen, es ist aber tatsächlich möglich – mathematisch betrachtet zumindest. Der Stapel wird optimiert (siehe Grafik). Konkret bedeutet das, dass der Schwerpunkt aller vorherigen Bausteine immer genau auf der Kante des nächsten Bausteines zu liegen kommen muss. So liegt beispielsweise der Schwerpunkt der ersten vier Bausteine auf der Kante des fünften Bausteins (in der Grafik mit den Pfeilen angedeutet). Bei diesem Aufbau steht der Turm gerade noch und fällt nicht um.

Harmonischebrueckerp copy

Nun folgt der mathematische Beweis, dass ein solcher Turm (mit unendlich vielen Bausteinen) in der Horizontale ins Unendliche strebt. Zuerst stellt sich die Frage, wie weit die einzelnen Bausteine gegenüber dem nachfolgenden Stein verschoben sein müssen, damit wie erwähnt der Schwerpunkt gerade über der Kante liegt. Schauen wir uns also den n-ten Stein an. Sein eigener Schwerpunkt liegt in der Mitte des Steins. Der Schwerpunkt der (n – 1) Steine über ihm liegt genau auf seiner linken Kante. Damit der Turm nicht kippt und der Schwerpunkt der n Steine genau auf der Kante des (n + 1)-ten Steins zu liegen kommt, muss

x • (n – 1) = (1 – x) • 1

gelten (Hebel mal Gewichtskraft). Die Variable x steht dabei für die Strecke, die der n-te Stein gegenüber dem nächsten verschoben ist, der Term (1 – x) folgt aus der Annahme, dass ein Baustein 2 Einheiten lang ist. Die Gleichung kann umgeformt werden zu

x • (n – 1) + x = 1
x • ((n – 1) + 1) = 1
x • n = 1
x = 1/n.

Somit ist der erste Stein gegenüber dem zweiten um 1/1 = 1 Einheit verschoben, der zweite gegenüber dem dritten um 1/2, etc. Daraus ergibt sich für die horizontale Ausdehnung des Stapels:

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + … .

Mathematiker wissen, dass der Grenzwert dieser (harmonischen) Summe Unendlich ist. Dies kann einfach bewiesen werden:

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + … >
1 + 1/2 + (1/4 + 1/4) + (1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8) + … =
1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + … .

Es ist keine grosse Kunst zu sehen, dass das ewig wiederholende Addieren von 1/2 zu 1 gegen Unendlich strebt. Somit ist es möglich, einen Stapel zu bauen, der horizontal beliebig weit reichen kann. Der Haken an der Sache ist, dass es extrem viele Bausteine braucht, um eine vernünftige Distanz zu erreichen (die gewonnene Strecke pro Stein beträgt ja 1/n, wird also immer kleiner), weshalb der Turm extrem hoch werden und eine unglaubliche Masse an Baumaterialien verschlingen würde. In der Theorie könnte man sich so aber (mit viel Geduld) eine unendliche Treppe bauen.

 

Quellen

Beitragsbild: endzeitinfo.files.wordpress.com
Bilder:  wundersamessammelsurium.info, wikipedia.org (verändert)