Mathematik

Gausssche Osterformel

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Bereits im 1. Jahrhundert nach Christus wurde das Osterdatum auf den ersten Sonntag nach dem Frühlingsvollmond (Vollmond zwischen 21. März und 19. April) festgelegt. Das frühstmögliche Osterdatum im Jahr ist somit der 22. März (Vollmond am 21. März, Sonntag am 22. März), das späteste der 26. April (Vollmond und Sonntag am 19. April). Nun möchte man natürlich jedes Jahr das genaue Osterdatum kennen, nicht zuletzt da ja weitere Feiertage wie Auffahrt oder Pfingsten davon abhängen. Wie macht man das? Eine Möglichkeit ist natürlich, dass man das Datum jedes Jahr mit Tabellen der Mondzyklen und der Wochentage neu bestimmt. Für Mathematiker (später auch Informatiker) ist dies aber keine zufriedenstellende Lösung. Eine bessere Möglichkeit zur Bestimmung des Osterdatums entwickelte Karl Friedrich Gauss um 1800 – die Gaussche Osterformel. Diese funktioniert folgendermassen:

Gausssche Osterformel

Sei J das Jahr, dessen Osterdatum man berechnen möchte. M und N seien zwei Konstanten (gültig von 1900-2099), die 24 bzw. 5 betragen.

Dann mache man folgende Zuordnungen:

a = J mod 19 (Rest der Division von J durch 19)
b = J mod 4
c = J mod 7
d = (19a + M) mod 30
e = (2b + 4c + 6d + N) mod 7

Das Osterdatum fällt dann auf den (22 + d + e)-ten März oder (d + e – 9)-ten April.

Beispiel

J = 2014, M = 24, N = 5

a = 0 (da 2014/19 = 106 Rest 0)
b = 2 (da 2014/4 = 503 Rest 2)
c = 5
d = (0 + 24) mod 30 = 24
e = (4 + 20 + 144 + 5) mod 7 = 5

Ostern fällt 2014 auf den (24 + 5 – 9 = 20) – ten April (oh, das ist ja heute, was für ein Zufall).

Erklärung (Ansatz)

Mit der Variable d berechnet man, wie viele Tage nach dem 22. März der Frühlingsvollmond stattfindet. Der Mondzyklus hat gegenüber unserem Kalender eine Periode von ziemlich genau 19 Jahren (deshalb a = J mod 19). Pro Jahr verschiebt sich der Mondkalender um rund 19 Tage gegenüber unserem Kalender (deshalb 19*a). Ein Mondzyklus (von Vollmond bis Vollmond) dauert rund 30 Tage (deshalb d = (19a + M) mod 30).

Mit der Variable e berechnet man, wie viele Tage nach dem Frühlingsvollmond der nächste Sonntag (eben der Ostersonntag) stattfindet. (2b + 4c + N) mod 7 sind die Anzahl der Tage, die zwischen dem 22. März und dem auf dieses Datum folgende Sonntag liegen (mit den 2b werden die Schalttage einbezogen). Da man aber die Anzahl Tage zwischen dem Frühlingsvollmond und dem nächsten Sonntag wissen will, muss noch der Term 6d (-d würde zum selben Resultat führen) addiert werden.

Die Summe aus d und e ergibt die Anzahl Tage, die Ostern nach dem 22. März stattfindet. Addiert man diese mit 22, so erhält man das Osterdatum.

Ausnahmen

In seltenen Fällen kann die Gausssche Osterformel ein falsches Resultat liefern. Dies ist auf spätere Zusatzbestimmungen zur Berechnung des Osterdatums zurückzuführen. Die Osterformel wurde deshalb im 19. und 20 Jahrhundert noch verbessert.

 

Nun aber genug zur Mathematik hinter Ostern – ich wünsche allen schöne Tage!

 

Quellen

Beitragsbild: de.wallpaperpics.net
Wikipedia: Osterformel