Mathematik

Kopfsache

New York

Ist die Mathematik nicht dann am schönsten, wenn kompliziert wirkende Dinge ganz einfach erklärt oder gar bewiesen werden können? Mit den folgenden Überlegungen kann man auf einfache Art zeigen, dass es mindestens 40 Einwohner in New York City geben muss, die genau gleich viele Haare auf dem Kopf haben.

Laut Wikipedia besitzt der Mensch je nach Haarfarbe rund 90’000 – 150’000 Kopfhaare. Da dies Durchschnittswerte sind, nehmen wir für die maximale Anzahl, die eine Person haben kann, 200’000 Kopfhaare an. Die Einwohnerzahl von New York City wurde 2012 auf über 8 Millionen geschätzt. Für diesen Beweis genügen 7’800’040 Einwohner. Nun zu den eigentlichen Überlegungen.

Der Beweis

Nach Annahme muss jeder Mensch eine Anzahl an Kopfhaaren haben, die zwischen 0 und 200’000 liegt. Somit gibt es 200’001 unterschiedliche Möglichkeiten (mit der 0). Nun kann man aus allen New Yorkern Gruppen bilden. Alle Personen mit einer vollständigen Glatze gehören zur Gruppe 0, alle Personen mit einem Kopfhaar zur Gruppe 1, … , alle Personen mit genau 200’000 Kopfhaaren zur Gruppe 200’000. Wenn alle Einwohner gleich viele Haare auf dem Kopf hätten, dann gäbe es nur genau eine Gruppe mit 7’800’040 Personen. Die Aussage, dass es mindestens 40 New Yorker gibt, die gleich viele Haare auf dem Kopf haben, wäre dann mehr als nur erfüllt. Im anderen Extremfall, wenn alle New Yorker sich gleichmässig auf die Gruppen aufteilen würden, gäbe es 200’001 Gruppen mit 39 Personen. Eine Person würde dann noch übrig bleiben (da 7’800’040 / 200’001 = 39 Rest 1). Da aber auch diese eine Anzahl an Kopfhaaren zwischen 0 und 200’000 haben muss, gehört sie zu einer der 200’001 Gruppen. Diese besteht dann folglich aus 40 Personen. Es gibt also auch in diesem (schlimmsten!) Fall eine Gruppe von 40 New Yorkern, die alle gleich viele Haare auf dem Kopf haben. Erstaunlich, nicht?

Quellen

Beitragsbild: wallibs.com
Wikipedia: New York City, Kopfhaar 
Skript „Schubfachprinzip“: imosuisse.ch