Mathematik / Physik

Das Auge und die Sonne

sonne

Eine elegante Falsch-Argumentation

Eigentlich hätte ich einen Beitrag darüber schreiben wollen, wie elegant die Naturwissenschaft sein kann. Es ist nämlich möglich, hätte ich begonnen, die Oberflächentemperatur der Sonne zu berechnen – und das nur mit der Kenntnis des sichtbaren Spektrums des menschlichen Auges. Und so wäre es weitergegangen: Für die Argumentation sind einzig die Evolutionstheorie Darwins und die Verteilung der Schwarzkörper-Strahlung Plancks nötig. Der für unser Sehorgan sichtbare Teil des elektromagnetischen Spektrums liegt ungefähr zwischen 350 und 650 nm. Für den Menschen – und wohl besonders für seine Vorfahren in der Evolutionsgeschichte – ist das Sehen von (überlebens-) wichtiger Bedeutung. Deshalb sollte man annehmen können, dass sich dieses Sinnesorgan im Laufe der Entwicklung optimiert hat und nun perfekt den Bedingungen auf der Erde angepasst ist. Da die natürliche elektromagnetische Strahlung zum allergrössten Teil von der Sonne stammt, ist es einleuchtend, dass das Auge gerade in dem Bereich am empfindlichsten sein sollte, in dem die Sonne am meisten Strahlung aussendet. Also sollte umgekehrt argumentiert das Maximum der Strahlungsleistung der Sonne gerade etwa in der Mitte des sichtbaren Spektrums liegen, also bei ungefähr 500 nm (Durchschnitt aus 350 und 650 nm). Nun kommt die Verteilung der Schwarzkörper-Strahlung zum Zug, welche Planck berechnete und damit den ersten Stein zur Quantenphysik legte. Für einen Schwarzen Körper (theoretischer Körper, der thermische Strahlung ideal absorbiert und emittiert) gilt abhängig von der Temperatur folgende Wellenlängenverteilung der thermischen Strahlung (bei welcher Wellenlänge gibt der Schwarze Körper wieviel Leistung ab):

Die Einheit ist gewöhnlich: 

(abgestrahlte Leistung normiert auf Fläche und Wellenlänge).

Sonnenspektrum

Die Sonne kann in sinnvoller Näherung als Schwarzer Körper betrachtet werden. Im folgenden Diagramm sind die gemessene Wellenlängenverteilung der Sonnenstrahlung (orange) und die theoretische Verteilung der Strahlung eines Schwarzen Körpers (gelb) eingezeichnet:

Sonne_Strahlungsintensitaet

Die beiden Kurven stimmen ziemlich gut überein. Die Maxima der Kurven liegen ungefähr bei einer Wellenlänge von 500 nm (im Diagramm oben ersichtlich). Das exakte Maximum der Schwarzkörper-Strahlung erhält man aus dem Wienschen Verschiebungsgesetz. Dieses findet man, wenn man die von Planck gefundene Verteilung der Schwarzkörper-Strahlung nach der Wellenlänge ableitet und gleich Null setzt:

Das dabei gefundene Verschiebungsgesetz lautet:

(der Wert aus der Wellenlänge, bei der die Strahlung maximal ist, multipliziert mit der Temperatur T, ist konstant).
Die Wellenlänge, bei der die Strahlung der Sonne maximal ist, scheint folglich abhängig von der Temperatur T der Sonne zu sein. Umgekehrt kann aus der maximalen Wellenlänge die Temperatur der Sonne bestimmt werden. Aus der Argumentation mit der Evolution haben wir weiter oben geschlossen, dass die maximale Strahlungsleistung der Sonne etwa in der Mitte des vom menschlichen Auge sichtbaren Spektrums liegen sollte – bei 500 nm oder 0.5 µm. Aus dem Wienschen Verschiebungsgesetz erhalten wir damit eine Temperatur T der Sonne von

Dies entspricht ziemlich genau der Oberflächentemperatur der Sonne (5’778 K). Damit konnten wir allein aus der Kenntnis des Wellenlängenbereichs des sichtbaren Spektrums des menschlichen Auges die Oberflächentemperatur der Sonne berechnen. Dabei haben wir zudem zwei grundlegende Erkenntnisse der Naturwissenschaft verwendet: die Evolution und die Verteilung der Schwarzkörper-Strahlung.  Die Schönheit der Naturwissenschaft konnte einmal mehr aufgezeigt werden, würde ich nun abschliessend schreiben und den Beitrag veröffentlichen. Unberücksichtigt würde dabei bleiben, dass die Schönheit der Naturwissenschaften genau darin liegt, dass sie sich keinen Deut um ihre Schönheit schert. Und dass das Vorangegangene schlicht falsch ist.

Die (unschöne) Wahrheit

Ich bin in Zusammenhang mit der Astronomie auf das Wiensche Verschiebungsgesetz gestossen und habe dabei die Wellenlänge ausgerechnet, bei der die Strahlung der Sonne maximal ist. Dass die resultierende Wellenlänge (etwa 500 nm, wie oben berechnet) gerade in der Mitte des sichtbaren Spektrums liegt, kann kein Zufall sein, war ich mir sicher. Zu verlockend ist die Kombination mit der Evolutionstheorie, welche die oben geführte Argumentation möglich macht und doch zweifellos ziemlich elegant ist. Eigentlich auf der Suche nach wissenschaftlichen Publikationen, die meine Evolutions-These bestätigen sollten, stiess ich schliesslich auf die Website scienceblogs.de und von dort auf die wissenschaftliche Publikation von Soffer und Lynch. Dort wurde ich auf meinen (zum Teil sogar in wissenschaftlichen Texten publizierten) Fehler aufmerksam gemacht. Ich werde hier nun kurz die Gründe aufführen, weshalb die Argumentation oben nicht richtig ist. Das Lesen der Publikation von Soffer und Lynch kann ich sehr empfehlen, sie ist bewundernswert klar verfasst.

Die Verteilung der Schwarzkörper-Strahlung ist eine Dichte-Funktion. Sie gibt an, wieviel Leistung vom Schwarzkörper ausgestrahlt wird, normiert auf eine Fläche (wenn der Körper auf eine grössere Fläche scheint, so ist natürlich auch die durch Strahlung übertragene Leistung grösser) und normiert auf ein Wellenlängen-Intervall. Es wird also die Strahlungsleistung der einzelnen Wellenlängen über ein Wellenlängen-Intervall „aufsummiert“ (bzw. integriert). Ähnlich würde man beispielsweise auch die Verteilung der Körpergrössen der Menschen in der Schweiz angeben. Es ist egal, wie gross nun das einzelne Individuum genau ist, viel interessanter sind die Anzahl Menschen, die beispielsweise zwischen 1.78 und 1.79 Meter liegen. Man normiert die Verteilung auf ein Intervall – in diesem Beispiel Zentimeter – und gibt dann die Anzahl der individuellen Werte an, die in dieses Intervall fallen.
Das menschliche Sehen wiederum ist keine Dichte-Funktion. Wir „sehen“ die Leistung der ins Auge einfallenden Strahlung bei 560, 530, bzw. 420 nm (RGB), weisen diesen Wellenlängen also einen eindeutigen Leistungs-Wert zu. Insofern hinkt der Vergleich zwischen dem menschlichen Sehen und der Verteilung der Schwarzkörper- (bzw. Sonnen-) Strahlung, da man hier „apples and oranges“ (nach Soffer und Lynch) vergleicht.

Dichte-Funktionen sind abhängig von den Intervallen, über die man normiert. Dies erscheint plausibel, da ja alle Einzelwerte über einem Intervall „aufsummiert“ werden. Werden die Intervalle geändert, so ändert sich auch die Dichte-Funktion. Normiert man die Schwarzkörper-Strahlung über Wellenlängen-Intervalle, so sieht die Kurve folgendermassen aus (wie im Diagramm oben schon gesehen):

solarspectrum1

Die kleine Kurve (mit „Luminous Efficiency“ bezeichnet) gibt die Empfindlichkeit des menschlichen Auges abhängig von der Wellenlänge an. Die Maxima der Schwarzkörper-Strahlung und der Empfindlichkeit des menschlichen Auges liegen ungefähr bei der gleichen Wellenlänge – genau wie in der obigen Argumentation vorausgesagt. Normiert man die Schwarzkörper-Strahlung allerdings auf Frequenz-Intervalle, so sieht die Sache ganz anders aus:

solarspectrum2

Die Kurve der Empfindlichkeit des Auges sieht ähnlich aus wie zuvor (sie ist in der Tat identisch zu derjenigen auf dem vorhergehenden Diagramm), allerdings hat sich die Kurve der Schwarzkörper-Strahlung verändert. Ihr Maximum liegt nun weiter links als dasjenige der Kurve des Auges – im infraroten Bereich. Der Grund dafür ist der folgende: Wellenlänge und Frequenz von Strahlung hängen über die Beziehung

zusammen. Dabei ist ν die Frequenz, λ die Wellenlänge und c die Lichtgeschwindigkeit. Durch Ableiten erhält man die Gleichung:

Der Faktor c/λ² ist gerade der Umrechnungsfaktor von Intervallen normiert auf die Wellenlänge in Bezug auf die Intervalle normiert auf die Frequenz. So sehen die gleichmässigen Intervalle auf dem linken Diagramm unten auf dem rechten verzerrt aus. Die Intervalle sind gleichmässig auf Wellenlängen normiert, werden sie aber ins auf Frequenzen normierte Diagramm gebracht, so werden sie durch den Faktor c/λ² verzogen. Die Intervalle sind bei grossen Frequenzen (kleinen Wellenlängen) viel grösser als bei kleinen Frequenzen (grossen Wellenlängen). Normiert man stattdessen auf gleichmässige Frequenz-Intervalle, so werden in Bezug auf diese Normierung bei den kleinen Frequenzen zu grosse Intervalle aufsummiert, das Maximum verschiebt sich zu kleineren Frequenzen (Infrarot-Bereich). Genau das sieht man im auf Frequenzen-Intervalle normierten Diagramm oben.

AJPSofferLynch (verschoben)AJPSofferLynch (verschoben)

 

 

 

 

 

 

Das Verzerren der Intervalle kann man folgendermassen gut plausibilisieren: Die Intervalle 100 nm bis 200 nm und 900 nm bis 1’000 nm sind offensichtlich gleich gross (Differenz von 100 nm). Rechnet man sie aber nun mit der Formel ν = c/λ um, so erhält man die folgenden Intervalle:

Das Intervall mit den kleineren Frequenzen ist nun viel kleiner als das Intervall mit den grösseren Frequenzen (wie im Diagramm oben aufgezeichnet).

Bei Dichte-Funktionen hängt das Maximum von der Intervall-Normierung ab, deshalb ist ein direkter Vergleich mit einer „normalen“ Funktion nicht sinnvoll. Das Maximum der Dichte-Funktion ist nicht allgemein gültig. So liegt das Maximum bei der Frequenz-Normierung bei grösseren Wellenlängen als bei der Wellenlängen-Normierung. Bei der „normalen“ Funktion des menschlichen Sehens dagegen wird das Maximum beim Wechsel von Wellenlängen auf Frequenzen nicht verändert.

Soffer und Lynch zeigen zudem auf, dass das menschliche Auge alles andere als ideal an das Sonnenspektrum angepasst ist. Dies einerseits wohl wegen der Wasserlebewesen-Vergangenheit des Menschen in der Evolutionsgeschichte und andererseits wegen den biochemischen Grenzen des Sehprozesses.

Abschliessend bringen Soffer und Lynch das ganze Problem auf den Punkt:

„The fact that in wavelength units the spectrum roughly agrees with the peak sensitivity of the eye is an accidental and meaningless quirk involving the units in which the spectrum is plotted.“ (S. 949)

Damit wäre die Argumentation nun endgültig abgeschlossen.

 

Quellen:

Soffer, Bernard H. und Lynch, David K.: Some paradoxes, errors, and resolutions concerning the spectral optimization of human vision. American Association of Physics Teachers, November 1999 (Link)

Nussbaumer, Harry und Schmid, Hans Martin: Astronomie, 8. Auflage. Vdf Hochschulverlag AG an der ETH Zürich, 2003.

Quellen Bilder:

Beitragsbild: nasa.gov
Spektrum Sonne: Wikipedia
Diagramme: aus Soffer und Lynch