Kopfsache

New York

Ist die Mathematik nicht dann am schönsten, wenn kompliziert wirkende Dinge ganz einfach erklärt oder gar bewiesen werden können? Mit den folgenden Überlegungen kann man auf einfache Art zeigen, dass es mindestens 40 Einwohner in New York City geben muss, die genau gleich viele Haare auf dem Kopf haben.

Laut Wikipedia besitzt der Mensch je nach Haarfarbe rund 90’000 – 150’000 Kopfhaare. Da dies Durchschnittswerte sind, nehmen wir für die maximale Anzahl, die eine Person haben kann, 200’000 Kopfhaare an. Die Einwohnerzahl von New York City wurde 2012 auf über 8 Millionen geschätzt. Für diesen Beweis genügen 7’800’040 Einwohner. Nun zu den eigentlichen Überlegungen.

Der Beweis

Nach Annahme muss jeder Mensch eine Anzahl an Kopfhaaren haben, die zwischen 0 und 200’000 liegt. Somit gibt es 200’001 unterschiedliche Möglichkeiten (mit der 0). Nun kann man aus allen New Yorkern Gruppen bilden. Alle Personen mit einer vollständigen Glatze gehören zur Gruppe 0, alle Personen mit einem Kopfhaar zur Gruppe 1, … , alle Personen mit genau 200’000 Kopfhaaren zur Gruppe 200’000. Wenn alle Einwohner gleich viele Haare auf dem Kopf hätten, dann gäbe es nur genau eine Gruppe mit 7’800’040 Personen. Die Aussage, dass es mindestens 40 New Yorker gibt, die gleich viele Haare auf dem Kopf haben, wäre dann mehr als nur erfüllt. Im anderen Extremfall, wenn alle New Yorker sich gleichmässig auf die Gruppen aufteilen würden, gäbe es 200’001 Gruppen mit 39 Personen. Eine Person würde dann noch übrig bleiben (da 7’800’040 / 200’001 = 39 Rest 1). Da aber auch diese eine Anzahl an Kopfhaaren zwischen 0 und 200’000 haben muss, gehört sie zu einer der 200’001 Gruppen. Diese besteht dann folglich aus 40 Personen. Es gibt also auch in diesem (schlimmsten!) Fall eine Gruppe von 40 New Yorkern, die alle gleich viele Haare auf dem Kopf haben. Erstaunlich, nicht?

Quellen

Beitragsbild: wallibs.com
Wikipedia: New York City, Kopfhaar 
Skript „Schubfachprinzip“: imosuisse.ch

Illegale Farben

lucsblog Kopie

Viele DVDs und Programme werden heute mit geheimen Schlüsseln (Zahlen oder Buchstaben) kodiert, so dass sie nicht illegal vervielfältigt werden können. Wenn also diese Codes geknackt und über das Internet verbreitet werden, so kann dies zu einem grossen Problem für die Hersteller werden. Deshalb fordern einige, dass das Verbreiten von geheimen Schlüsseln für illegal erklärt wird. Somit gäbe es dann illegale Zahlen- oder Buchstabenfolgen. Aber es geht sogar noch einen Schritt weiter. Jeder Buchstabe kann in Zahlen und diese dann weiter in eine hexadezimale Zeichenkette (16er-System) umgewandelt werden. Diese werden in der Informatik gebraucht, um Farben zu definieren. So kann dann der Schlüssel als eine Kombination verschiedener Farben weitergegeben werden (was heutzutage auch so gemacht wird). Somit gibt es Farben, die nicht veröffentlicht werden sollten. Aber eine Farbe kann man ja auch nicht wirklich per Gesetz verbieten…

Beispiel: Von Buchstaben zu Farben

Da ich hier nicht illegale Schlüssel verbreiten möchte, nehme ich als Beispiel die Folge „LUCSBLOG“. Diese Buchstabenfolge kann mit der ASCII-Zeichenkodierung in binäre Zahlen (2er-System) umgewandelt werden. Die Zeichenfolge sieht dann so aus:

L = 01001100
U = 01010101
C = 01000011
S = 01010011
B = 01000010
L = 01001100
O = 01001111
G = 01000111

„LUCSBLOG“ wurde also nun zur Zahl „01001100 01010101 01000011 01010011 01000010  01001100 01001111 01000111“. Im Dezimalsystem lautet diese Zahl „5500376544776572743“ und im Hexadezimalsystem „4C554353424C4F47″. Eine Farbe besteht in der Informatik aus einer 6-stelligen Hexadezimalzahl. Es ergeben sich somit die Farben „4C5543“ und „53424C„, die restlichen Ziffern („4F47“) bleiben übrig. In einem Mal- oder Bildbearbeitungsprogramm kann man nun diese Farben in ein Bild malen. Den Rest schreibt man einfach unten hin. Die Farben im Beitragsbild entsprechen der Buchstabenfolge „LUCSBLOG“.

Schon hat man aus einer Text- oder Zahlenfolge eine Farbfolge gemacht. Diese sollte jedoch, wenn die ursprüngliche Folge ein geheimer Schlüssel war, nicht unbedingt verbreitet werden…

 

Nützliche Links:
Text zu Binär – Umrechner
Binär – Umrechner
Farben anzeigen

Quellen:
Illegal Numbers – Numberphile

9+7=10

binary

Wir alle rechnen mit dem Dezimalsystem. Wir zählen bis neun und beginnen dann bei zehn mit einer zweiten Stelle, der 1 vor der 0. Genau das Gleiche bei 100 (102), bei 1000 (103) und bei jeder folgenden Zehnerpotenz. Dies macht ja durchaus auch Sinn, da wir genau zehn Finger haben. Man muss aber überhaupt nicht so rechnen.

Computer beispielsweise rechnen mit dem Binärsystem. Sie kennen nur die Ziffern 0 und 1 (Strom oder kein Strom) und fangen bei jeder Zweierpotenz mit einer neuen Stelle an. Unser 1-10 sieht dann so aus:

1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010

Ein anderes halbwegs gebräuchliches System ist das Hexadezimalsystem. Da beginnt man bei den Sechzehnerpotenzen mit einer neuen Stelle. Die 10 in diesem System wäre also genau das Gleiche wie bei uns die 16. Für die Zahlen zehn bis fünfzehn müssen im Hexadezimalsystem neue Zeichen erfunden werden (da sie ja bis fünfzehn einstellig bleiben). Dafür hat man einfach die Buchstaben A-F genommen, damit man nicht noch neue Zeichen lernen muss. Unser 1-16 sieht dann so aus:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, 10

Wenn man also nun die Zahlen 9 und 7 addiert, ist das Resultat zwar eigentlich immer noch das Gleiche, man schreibt es aber nicht als 16, sondern als 10. Die Rechnung würde also durchaus Sinn ergeben, wenn wir anstatt zehn sechzehn Finger hätten und deshalb mit diesem System rechnen würden. Da aber das Dezimalsystem als Standard angesehen wird, ist es nicht so ratsam, diese Rechnung bei der nächsten Prüfung hinzuschreiben. Obwohl sie eigentlich nicht falsch wäre.

Übrigens: Wer hat den Witz auf dem Beitragsbild verstanden?

Quelle Bild: equinoxstudios.files.wordpress.com

 

 

1729 – A rather dull number?

Law-of-Large-Numbers

Geschichte

Die Zahl 1729 ist als Hardy-Ramanujan-Zahl bekannt geworden. Ihre Berühmtheit begann als der Britische Mathematiker G. H. Hardy seinen kranken Indischen Kollegen Srinivasa Ramanujan in einem Spital besuchen ging. Dazu nahm sich Hardy ein Taxi, das, wie er bemerkte, die Nummer 1729 trug. Im Spital angekommen erzählte er dies Ramanujan, um mit ihm ins Gespräch zu kommen und meinte, dass diese Zahl „a rather dull number“ (eine ziemlich dumme/langweilige Zahl) sei. „No“, antwortete Ramanujan, „it is a very interesting number. It is the smallest number expressible as the sum of two positive cubes in two different ways.“ (Die kleinste Zahl, die man als Summe zweier positiver Kubikzahlen auf zwei unterschiedliche Arten bilden kann).

Beweis

Diese beiden Arten sind die folgenden:

1= 1         123 = 1728         1+1728 = 1729

93 = 729    103  = 1000        729+1000 = 1729

Fazit

Natürlich hat dies Ramanujan nicht gerade während des Gesprächs herausgefunden, sondern als Mathematiker einfach auswendig gekonnt. Ich finde es ist aber trotzdem eine lustige Geschichte und sicher auch bemerkenswert, wenn man bedenkt, dass der gute Mann auch noch krank war.

 

Quelle: Wikipedia

Quelle Bild: ahalffast.com